The Maximum of a Random Walkand Its Application

We consider a symmetric random walk of length n that starts at the origin and takes steps uniformly distributed on the real interval ?1; +1]. We study the large-n behavior of the expected maximumexcursion and prove a very precise estimate. This estimate applies to the problem of packing n rectangles into a unit-width strip; in particular, it makes much more precise the known upper bound on the expected minimum height when the rectangle sides are 2n independent uniform random draws from 0; 1]. Le maximum d'une marche al eatoire et son application au placement de rectangles R esum e : On consid ere une marche al eatoire partant de l'origine, de longueur n, et suivant des etapes uniform ement distribu ees dans l'intervalle ?1; +1]. Cet article etudie, pour n grand, le comportement du maximum attendu de la marche al eatoire et fournit une estimation asymptotique pr ecise de l'esp erance. L'estimation s'applique alors au placement de n rectangles dans une bande de largeur unit e; en particulier elle permet de rendre beau-coup plus pr ecise la borne sup erieure sur la hauteur d'un tel placement lorsque les cot es des rectangles sont des variables al eatoires uniform ement distribu ees sur l'intervalle 0; 1]. Abstract Let S 0 ; : : :; S n be a symmetric random walk that starts at the origin (S 0 = 0), and takes steps uniformly distributed on ?1; +1]. We study the large-n behavior of the expected maximum excursion and prove the estimate